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复习直线和圆的方程

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-7 18:43:05
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一. 教学内容:复习直线和圆的方程

二. 重点、难点:

(一)知识点

(二)重点知识反刍梳理(直线方程)

1. 直线的倾斜角与斜率的概念

(1)直线的倾斜角与斜率的关系:

①任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率。

(3)平面上直线与二元一次方程是一一对应的。

2. 两条直线的位置关系:

注意到:“到角”公式与“夹角”公式的区别。

(2)判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可用斜率的关系来判断;若两直线的斜率有一不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断。

(3)点到直线的距离公式

3. 简单的线性规划

(1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域。

(2)简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下,求线性目标函数ax+by的最大值或最小值问题。一些实际问题可以借助这种方法加以解决。

4. 圆的方程

(1)曲线和方程的关系

(2)圆的方程的形式

确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有三种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围。

半径。

(3)直线与圆的位置关系的判定方法

(4)两圆的位置关系的判定方法

设AC边上的高为BH

的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?

分析:∵O、P、Q、R四点共线,P点横坐标为a是已知的,另条件等式是线段的二次齐次,故可转化为横坐标间的二次齐次,又R点在圆周上,故设R点坐标(xR,yR)为参数,以下只需列出三个等式消参。

详解:

例3.

分析:已知l的斜率k即可。由光学知识知道入射角等于反射角。于是求k的途径之一是只需l与已知圆关于x轴的对称圆相切;途径之二是利用入射光线l与反射光线在x轴的反射点处关于x轴的法线方向对称。

解:方法一:

方法二:

因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线l’所在直线的方程是:

这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1

以下同解法一。

小结:(1)方法一是非构造性解法,方法二是构造性解法,显然解法一简捷明快,但需作深入分析才能找到入射光线与对称圆相切的关系。多想出智慧!(2)对方法二还可作以下修正,∵此时入射光线l’的斜率互为相反数,A点关于x轴对称点为A’(-3,-3),设入射光线l斜率为k,反射光线方程为y+3=-k(x+3),即kx+y=-3(x+1)。

例4.

与圆C外切,若点A对所有满足条件的MN,使∠MAN为定角,试求定点A的坐标及定角∠MAN的大小。

分析:由条件先找出以MN为直径的圆的圆心与半径之间的数量关系,继而发现以MN为直径的圆必成对关于y轴对称,所以定点必在y轴上且上、下方均有可能,再从两个特殊的动圆入手,猜出定点坐标和定角大小,最后作一般性证明。

解:设以MN为直径的圆的圆心P(a,0),半径为r

∵动圆与定圆相切

因为以MN为直径的圆必成对关于y轴对称,所以设定点A(0,b)

以下作一般性证明:

当A(0,3)时同理可得

解:如图,在线段AB上任取一点P,分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地。

建立如图所示的坐标系,则

例6.

(3)设A、B为曲线C2上任意不同两点,证明直线AB与直线y=x必相交。

(1)解:曲线和关于直线y=x对称,则g(x)为f(x)的反函数

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(3)证明:设A、B为曲线上任意不同两点(x1,y1),(x2,y2)

又直线y=x的斜率为1,直线AB与直线y=x必相交。

例7.

例8. 已知:如图射线OA为y=kx(k>0,x>0),射线OB为y=-kx(x>0),动点P(x,y)在∠AOx的内部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四边形ONPM的面积恰为k。

(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;

(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域。

解:

由动点P在∠AOx的内部,得0<y<2x

(2)由0<y<kx,得:

【模拟试题】

一. 选择题。

1. 已知点 到直线 ,那么θ等于( )

A. B. C. D.

2. 实数x,y满足 ,那么 ,则 的( )

A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 若点 在直线 上,则直线方程可表示为( )

A.

B.

C.

D.

5. 已知点 ,P为x轴上一动点,当 取得最大值时,点P的坐标为( )

A.

6. 曲线 与直线 有两个交点时,实数a的取值范围是( )

A.

二. 填空题。

7. 已知两条直线 的交点为P(2,3),则过两点 的直线方程是________________。

8. 若原点O在直线 ,则直线 ,则 表示的图形的面积是________________。

10. 圆 距离最远的点的坐标是________________。

三. 计算题。

11. 设方程 表示两条直线。(1)求k的值;(2)求通过此两条直线的交点与点(1,1)的直线方程。

12. 两直线分别绕 两点旋转,它们在y轴上的截距b、b’的乘积等于常数 ,求两直线交点的轨迹。

13. 有两种物质(药品和粮食),可用列车和飞机两种方式运输,每天每列车和每架飞机运输效果如下:

在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨粮食和1500吨药品的任务?

14. 一个圆满足:(1)截y轴所得的弦为2;(2)被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线 的距离最小的圆的方程。

15. 设曲线 有且只有三个交点,求实数a与b应满足的条件。

【试题答案】

一. 选择题。

1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A

二. 填空题。

7.

9.

10.

三. 计算题。

11. 解:(1)设所表示的两条直线为

<1>×<2>得:

解得:

12. 解:设 为直线AC和BD的交点,根据题设得两直线方程:

因为M是AC和BD的交点,所以它的坐标同时满足以上两直线方程,由<1>、<2>两式组成方程组

解得: ,并化简,得:

是动点M的坐标,因此,所求的轨迹是圆。

13. 解:设列车x列,飞机y架,则 得:

由条件整理得: ,半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为

又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有

又点 到直线 的距离为

所以有

当且仅当

从而d取最小值,因此有

解此方程组得 ,或 ,知

15. 解:

为两条直线

若(0,1) ,依题意应有 与圆 ,依题意 为圆

有且仅有三个交点,实数a、b应满足的条件是 )或





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