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直线与平面垂直的判定

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-6 18:43:05
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一. 教学内容:

1. 垂直判定

(1)

(2)

(3)

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2. 垂直性质

(1)

(2)过空间一点作定直线的垂面有且仅有一个

(3)过空间一点作定平面的垂线有且仅有一条

3. 三垂线定理及其逆定理

则:1. 以AB为直径的圆在平面 于A,C在圆上,连PB、PC过A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,试判断图中还有几组线面垂直。

2. 四面体的四个面可否均为直角三角形

下面所示为所求。

3. 四面体P?DABC中,PA、PB、PC两两垂直,试判断

解:设

为锐角,同理 垂心。

4. 四面体P?DABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证:PC⊥AB。

证:过P作PQ⊥面ABC于Q

同理A、B、C在对面射影也均为垂心

5. 如图,直角BAC在 内射影

证:如图所示,

证:存在性

,使

E为 上一点,过E作EF⊥

过A作AB//EF交 于B ∴ AB为公垂线

唯一性,假定存在CD为异面直线

∴ A、B、C、D共面 共面与已知矛盾。

∴ 假设不成立 ∴ 公垂线有且仅有一条

7. 求证:四个角是直角的四边形为矩形

证:四边形ABCD四个角均为1. 下面结论有( )个正确的。

(1)过空间一点作与已知直线平行的平面有且仅有一个

(2)过空间一点作与已知直线垂直的平面有且仅有一个

(3)过空间一点作与已知平面平行的直线有且仅有一条

(4)过空间一点作与已知平面垂直的直线有且仅有一条

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知直线 ,下列结论正确的是( )

A. B.

C. D. 3. 三条直线两两垂直,则下列结论正确的是( )

(1)三线必交于一点

(2)其中必有两条异面

(3)三条线不可能在同一个平面内

(4)其中必有两条直线在一个平面内

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二. 解答题:

1. 已知平面 平面

2. 如图所示,S是矩形ABCD所在平面外一点,且SA⊥平面ABCD,SA=AD,E、F分别是AB、SC的中点,求证:EF⊥平面SCD。

3. 在4. 已知空间四边形ABCD中,AD=BD,AC=BC,M、N、P、Q分别是AC、BC、BD、AD的中点,求证:四边形MNPQ是一个矩形。


【试题答案】

一.

1. B 2. B 3. A

二.

1. 证明:∵ AB

又 AB、AC相交于A ∴ EF⊥平面ABC

2. 证明:取SD的中点G,连结AG、GF,则 AE,即AEFG是平行四边形 ∴ AG//EF 又 ∵ SA=AD

∴ AG⊥SD 又 ∵ SA⊥平面ABCD ∴ SA⊥CD

又 ∵ CD⊥AD ∴ CD⊥平面SAD ∴ AG⊥CD ∴ AG⊥平面SCD

∴ EF⊥平面SCD

3. 证明:如图,取PB的中点D,AB的中点E,连结PE、DN、DM

∵ M为PC的中点 ∴ DM//BC 又 ∵ BC⊥平面PAB,AB 平面PAB

∴ AB⊥BC ∴ AB⊥DM ∵ PA=PB,E为AB的中点

∴ PE⊥AB 而AN=3BN,D为PB的中点

∴ DN//PE ∴ DN⊥AB 又 ∵ DN DM=D ∴ AB⊥平面DMN

又 ∵ MN 平面DMN ∴ AB⊥MN

4. 证明:设AB的中点为E,连结DE、CE

∵ P、Q分别是BD、AD的中点 ∴ PQ//AB且PQ= AB

同理,MN//AB,MN= AB ∴ MN PQ

∴ 四边形MNPQ是一个平行四边形 ∵ AD=BD ∴ AB⊥ED

同理,AB⊥EC ∴ AB⊥平面EDC ∴ AB⊥DC

∵ Q、M分别是AD、AC的中点 ∴ QM//DC

又 MN//AB ∴ MN⊥MQ ∴ 四边形MNPQ是一个矩形。





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