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直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-5 18:43:05
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一. 教学内容:直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角

二. 教学重、难点:

1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理,了解三垂线定理及其逆定理,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法,并会计算所求角的大小。

【典型例题

[例1] 如图所示,在棱长为 的正方体 中,E、F分别是棱AB和BC的中点,EF与BD交于点G。

(1)求二面角 的大小;

(2)M为棱 的值为多少时,能使

解:(1)在底面AC中 ∵ AC⊥BD,EF//AC

∴ BG⊥EF,连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF

∴ 二面角 的正切值为

∴ 二面角 的大小为(2)当 时能使证明如下:∵

而∴ ∴ 。求证:MN⊥CD,MN⊥平面PCD。

证明:连结AC、BD交于O,连结OM、ON、PM、MC

则NO//PA,又PA⊥平面ABCD

∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD,又MO⊥CD

∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN

中, ∴ PA=AD

又 ∵ AM=BM,PA⊥AM,BC⊥BM ∴ ∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC

,AD=BC= ,将其沿对角线BD折成直二面角。

(1)证明AB⊥平面BCD;

(2)证明平面ACD⊥平面ABD;

(3)求二面角 的大小。

解析:(1)证明:在

∴ ∴ 又 ∵ 二面角 为直二面角, 平面ABD,DB=平面 平面BDC

∴ AB⊥平面BDC

(2)证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC,AB 平面ABD

∴ 平面ABD⊥平面BDC

又 ∵ BD=平面 平面BDC,DC 平面BDC,DC⊥平面ABD

又 ∵ DC 平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD

(3)作BQ⊥CE于Q,由平面几何知识,得

连结AQ,由三垂线定理,AQ⊥CE ∴ 是二面角 的平面角

中,

即二面角 的大小为(1)AE与CF所成的角;

(2)CF与平面BCD所成的角。

解:(1)如图,连结DE,取ED的中点K,连结FK、CK

∵ F是AD的中点

∴ AE//FK 则设正四面体棱长为 ,则可得在 中,∴在 中,

,即异面直线AE和CF所成角为

(2)在正四面体ABCD中,∵ 各棱长都相等,E是BC的中点

∴ BC⊥AE,BC⊥DE ∴ BC⊥面AED ∴ 面ADE⊥面BCD,交线为DE

过A作AO⊥DE于O,则AO⊥面BCD

过F作FH⊥DE于H,则FH⊥面BCD,连结CH

为CF与面BCD所成的角

故CF与面BCD所成的角为

[例5] 在三棱锥 中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB= ,(1)求证:SC⊥平面BDE;

(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。

解:(1)证明:∵ SA⊥平面ABC,AB、AC、BD 平面ABC

∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD ∴

∵ 又 DE⊥SC ∴ SC⊥平面BDE

(2)由(1)的结论及∴ 由AB⊥BC,得

[例6] 如图所示,矩形ABCD中,PD⊥平面ABCD,若PB=2,PB与平面PCD所成的角为 角。

(1)求CD的长;

(2)求PB与CD所成的角;

(3)求二面角 的余弦值。

解:(1)∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥BC 又 BC⊥DC

∴ BC⊥平面PDC ∴ 为PB与平面PCD所成的角,即同理, 即为PB与平面ABD所成的角

∴ 在 中,

中,<2" style=’width:96pt; > ∴ CD=1

(2)∵ AB//CD ∴ PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角,∵ PD⊥平面ABCD,AD⊥AB ∴ PA⊥AB

在(3)由点C向BD作垂线,垂足为E,由点E向PB作垂线,垂足为F,连结CF

∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥CE 又 CE⊥BD ∴ CE⊥平面PBD

CF为平面PBD的斜线,由于EF⊥PB ∴ PB⊥CF

为二面角<7" > 的平面角

中,<9" style=’width:48pt; > ,DC=1,BD=∴ CE=在

∴ 二面角 的余弦值为 中,(1)证明

(2)AE等于何值时,二面角

解:(1)证明:∵ AD=AA1 ∴ 四边形ADD1A1为正方形

又 ∴ AB⊥平面AA1D1D 又 平面AA1D1D ∴ AB⊥A1D

平面∴

(2)过D作DH⊥CE于H,连结D1H

由于D1D⊥平面ABCD,EC 平面ABCD ∴ 故 平面 ,则∴ 的平面角

中,∵ ∵ 在 中,

∴ 在 中, 中,

中,

∴ AE 的大小为

 

【模拟试题】

一. 选择题:

1. 在正方形 中,E、F分别是 、A. AB⊥平面EFB B. AD⊥平面EFB

C. BF⊥平面AEF D. BD⊥平面AEF

2. 空间四边形ABCD中,AC⊥BD,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH为( )

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能确定

3. 已知直线 ,那么必定有( )

A. B. C.

4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )

A. C.

5. 在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I分别为DE、FC、EF的中点,将A. B. C.

6. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 A. B. D. ,A. C.

8. 如图,在正三棱柱 ,则A. B. C.

二. 解答题:

1. 在四面体 中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B?DAP?DC的大小。

2. 如图甲,在直角梯形PDCB中,PD//CB,CD⊥PD,PD=6,BC=3,DC= 角,设E、F分别为AB、PD的中点。

(1)求证:AF//平面PEC;

(2)求二面角 的大小。

3. 如图,四棱锥 的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=(1)求证:

(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;

(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小。

【试题答案】

一.

1. A

解析:由 ⊥面BEF

2. C

解析:根据三角形中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形,又 ∵ AC⊥BD,∴ EF⊥FG,∴ 四边形EFGH为矩形。

3. A

解析:由已知4. C

解析:如图, 为侧棱与底面所成的角,∵ ,PA=1,∴

5. A

解析:如图, 为BG与IH所成的角为

6. C

解析:过C作平面PAB的垂线,则垂足O在设PC= 中,

7. D

解析:不妨设PM=PN=

MN=

8. D

解析:本题考查直线与平面所成的角,如图,E、O为B、D在平面A1C上的射影,则 即为所求。易知 ,AD= ,则

二.

1. 解析:过点B作BE⊥AC于E,过E作EF⊥PA于F,连结BF

∵ PC⊥平面ABC ∴ BE⊥平面PAC ∴ BE⊥PA

∴ 设PC=1,则AB=BC=CA=PC=1 ∴ E为AC的中点

∴ 所求二面角的大小为

2. 解析:(1)证明:取PC的中点,连结FG、EG,则FG//CD,且∵ AE//CD,且

从而四边形AEGF为平行四边形 ∴ AF//EG ∵ ∴ AF//平面PEC

(2)∵ CD⊥平面PAD ∴ 平面PAD⊥平面ABCD

∵ PA=AD,∴ PA⊥BC ∵ BC⊥AB ∴ BC⊥平面PAB ∴ BC⊥PB

∴ 在∴ 二面角 大小为3. 解析:(1)证法一:如图,∵ 底面ABCD是正方形,∴ BC⊥DC

∵ SD⊥底面ABCD

∴ DC是SC在平面ABCD上的射影,由三垂线定理得BC⊥SC

证法二:如图所示

∵ 底面ABCD是正方形 ∴ BC⊥CD ∵ SD⊥底面ABCD ∴ SD⊥BC

又 (2)方法一:∵ SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形

∴ 可以把四棱锥S?DABCD补形为长方体 ,如图所示,面ASD与面BSC所成的二面角就是面 与面∵ SC⊥BC,BC//A1S ∴ SC⊥A1S,又 SD⊥A1S

为所求二面角的平面角

在∴

方法二:如图所示,过点S作直线 ,∴ 在面ASD上

∵ 底面ABCD为正方形 ∴ 在面BSC上

为面ASD与面BSC的交线 ∵ SD⊥AD,BC⊥SC

(3)如图所示,取AB中点P,连结MP、DP

中,由中位线定理得MP//SB ∴ ∵

∴ 在∴ 异面直线DM与SB所成的角为





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