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椭圆的方程

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-4 18:43:05
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一、教学内容:椭圆的方程

高考要求:理解椭圆的标准方程和几何性质.

重点:椭圆的方程与几何性质.

难点:椭圆的方程与几何性质.

二、知识点:

1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

定 义

第一定义:平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

第二定义:

平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0<e<1)

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图 形

焦点在x轴上

焦点在y轴上

性 质

焦点在x轴上

范 围:

对称性: 轴、 轴、原点.

顶点:

离心率:e

概念:椭圆焦距与长轴长之比

定义式:

范围:

2、椭圆中a,b,c,e的关系是:(1)定义:r1+r2=2a

(2)余弦定理: -2r1r2cos(3)面积: = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P(

三、基础训练:

1、椭圆 的标准方程为 ,焦点坐标是 ,长轴长为___2____,短轴长为2、椭圆 的值是__3或5__;

3、两个焦点的坐标分别为 ___;

4、已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点 的距离是7,则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点,B1B是短轴, ,则椭圆的离心率为6、方程 =10,化简的结果是

满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为

8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系 顶点 ,顶点 在椭圆 上,则10、已知点F是椭圆 的右焦点,点A(4,1)是椭圆内的一点,点P(x,y)(x≥0)是椭圆上的一个动点,则 的最大值是 8 .

【典型例题】

例1、(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,短轴长为4,求椭圆的方程.

解:设方程为

所求方程为

(2)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1,求椭圆的方程.

解:设方程为

所求方程为(3)已知三点P,(5,2),F1 (-6,0),F2 (6,0).设点P,F1,F2关于直线y=x的对称点分别为 ,求以 为焦点且过点 的椭圆方程 .

解:(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 ∴所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( , 1)的椭圆的标准方程.

解:设方程为

例2、如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且 、A、B在同一直线上,设地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).

解:建立如图所示直角坐标系,使点A、B、 轴上,

=|OA|-|O |=| A|=6371+439=6810

解得 =7782.5, =972.5

卫星运行的轨道方程为

 

例3、已知定圆

分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形,用数学符号表示此结论:

上式可以变形为 ,又因为 ,所以圆心M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆

解:知圆可化为:圆心Q(3,0),

设动圆圆心为 ,则 为半径 又圆M和圆Q内切,所以

,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中点为原点,所以 ,故动圆圆心M的轨迹方程是:

例4、已知椭圆的焦点是 |和|(1)求椭圆的方程;

(2)若点P在第三象限,且∠ =120°,求

选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.

解:(1)由题设| |=2| |=4

, 2c=2, ∴b=∴椭圆的方程为

(2)设∠ ,则∠ =60°-θ

由正弦定理得:

由等比定理得:

整理得:

说明:曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质,借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来,再去解三角形作答

 

例5、如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?@,求线段PP?@的中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为 ,求点M的轨迹)

解:(1)当M是线段PP?@的中点时,设动点 ,则 的坐标为

因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上,

所以有 所以点

(2)当M分 PP?@之比为 时,设动点 ,则 的坐标为

因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上,所以有

即所以点

例6、设向量 =(1, 0), =(x+m) +y =(x-m) +y |+| (I)求动点P(x,y)的轨迹方程;

(II)已知点A(-1, 0),设直线y= (x-2)与点P的轨迹交于B、C两点,问是否存在实数m,使得 ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解:(I)∵ =(1, 0), =(0, 1), | =6

上式即为点P(x, y)到点(-m, 0)与到点(m, 0)距离之和为6.记F1(-m, 0),F2(m, 0)(0<m<0),则|F1F2|=2m<6.

∴ |PF1|+|PF2|=6>|F1F2|

又∵x>0,∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.

∵ 2a=6,∴a=3

又∵ 2c=2m,∴ c=m,b2=a2-c2=9-m2

∴ 所求轨迹方程为 (x>0,0<m<3)

( II )设B(x1, y1),C(x2, y2),

∴∴ 而y1y2= (x1-2)? (x2-2)

= [x1x2-2(x1+x2)+4]

[x1x2-2(x1+x2)+4]

= [10x1x2+7(x1+x2)+13]

若存在实数m,使得 成立

则由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]=

可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①

再由

消去y,得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②

因为直线与点P的轨迹有两个交点.

所以

由①、④、⑤解得m2= <9,且此时△>0

但由⑤,有9m2-77= <0与假设矛盾

∴ 不存在符合题意的实数m,使得

 

例7、已知C1: ,抛物线C2:(y-m)2=2px (p>0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;

(Ⅱ)若p= ,且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.

解:(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1, )或(1,- ).

∵点A在抛物线上,∴

此时C2的焦点坐标为( ,0),该焦点不在直线AB上.

(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).

(kx-k-m)2=

因为C2的焦点F´( ,m)在y=k(x-1)上.

所以k2x2 (k2+2)x+ =0 ②

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③

由于x1、x2也是方程③的两根,所以x1+x2=

从而 = k2=6即k=±

又m=- ∴m= 或m=-

当m= 时,直线AB的方程为y=- (x-1);

当m=- 时,直线AB的方程为y= (x-1).

例8、已知椭圆C: (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设 =

(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若 ,△MF1F2的周长为6,写出椭圆C的方程;

(Ⅲ)确定解:(Ⅰ)因为A、B分别为直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是A(- ,0),B(0,a).

这里∴M = ,a)

解得

(Ⅱ)当 时, ∴a=2c

由△MF1F2的周长为6,得2a+2c=6

∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3

故所求椭圆C的方程为

(Ⅲ)∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 |PF1|=C.

设点F1到l的距离为d,由

|PF1|= =得: =e ∴e2= 于是

即当(注:也可设P(x0,y0),解出x0,y0求之)

【模拟试题】

一、选择题

1、动点M到定点 的距离的和为8,则动点M的轨迹为 ( )

A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线

2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )

A、 C、2- -1

3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C: 的焦点,在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为( )

A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定

4、椭圆 的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为 ( )

A、32 B、16 C、8 D、4

5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上,则 的最小值为( )

A、 C、

6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它的短轴的一个端点,则 等于( )

A、 C、

二、填空题

7、椭圆 的顶点坐标为 和 ,焦点坐标为 ,焦距为 ,长轴长为 ,短轴长为 ,离心率为 ,准线方程为 .

8、设F是椭圆 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2, ),使得|FP1|、|FP2|、|FP3|…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围是 .

9、设 是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上一点,且 ,则得

10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是

三、解答题

11、根据下列条件求椭圆的标准方程

(1)和椭圆 共准线,且离心率为

(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

12、已知 轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆 上的动点,求AQ中点M的轨迹方程

13、椭圆 的焦点为 =(3, -1)共线.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设M是椭圆上任意一点,且 = ∈R),证明 为定值.


 

【试题答案】

1、B

2、D

3、A

4、B

5、D(法一:设 ,则y=kx代入椭圆方程中得:(1+2k2)x2-4x+3=0,由△≥0得: .法二:用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)

6、C

7、( ;(0, );6;10;8;

8、

9、

10、m< 且m≠0.

11、(1)设椭圆方程

解得 所求椭圆方程为(2)由

所求椭圆方程为 的坐标为

因为点 为椭圆 上的动点

所以有

所以中点

13、解:设P点横坐标为x0,则 为钝角.当且仅当

14、(1)解:设椭圆方程 ,F(c,0),则直线AB的方程为y=x-c,代入 ,化简得:

x1x2=

=(x1+x2,y1+y2), 共线,得:3(y1+y2)+(x1+x2)=0,

又y1=x1-c,y2=x2-c

∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,∴ x1+x2=

= ,∴ a2=3b2

,故离心率e=

(2)证明:由(1)知a2=3b2,所以椭圆 可化为x2+3y2=3b2

= (x2,y2),∴

∵M∴ ( 2+3( 2=3b2

即: )+ (由(1)知x1+x2= ,a2= 2,b2= c2

x1x2= = 2

x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)

=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= 2 2+3c2=0

=3b2代入①得

为定值,定值为1.





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