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平面解析几何部分:圆的方程

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-3 18:43:05
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一. 教学内容:平面解析几何部分:圆的方程

二. 教学目的

1、掌握圆的标准方程与一般方程

2、掌握直线与圆、圆与圆的位置关系

3、掌握圆的切线、弦及相关问题

三. 教学重点、难点

1、重点:

(1)圆的标准方程与一般方程;(2)直线与圆的位置关系;(3)两个圆的位置关系;(4)有关切线与弦的结论.

2、难点:

(1)因为圆的特殊性,在解决有关直线与圆的问题时,经常运用由圆的几何性质所产生的式子,如弦长、切线等,一般不列出它们的方程组去分析、讨论。在判断直线与圆的位置关系时,充分利用点到直线的距离公式   )是圆心坐标),然后再利用①代数法:设斜率为k的直线与圆相交于   两点,则

②几何法:设直线AB,若圆的半径为l的距离为 ,则

(3)在解决有关圆的轨迹及综合问题时,要注意合理运用圆的几何性质。

四. 知识分析

【知识梳理】

1、圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为 )与圆 时,则点P( 时,则点P( 时,则点P( 时,方程 叫做圆的一般方程.

4、直线与圆的位置关系有三种:相割、相切、相离。

5、直线 (r>0)的位置关系的判断方法有:

(1)几何方法:

圆心(a,b)到直线

d<r 直线与圆相交;

d=r 直线与圆相切;

d>r 直线与圆相离。

(2)代数方法:

消元,得到的一元二次方程的判别式为△,则

△>0 直线与圆相交;

△=0 直线与圆相切;

△<0 直线与圆相离。

6、圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。

7、根据圆的方程,判断两圆位置关系的方法有:

(1)几何方法:

两圆

有两组不同的实数解 两圆相交;

有两组相同的实数解 两圆相切;

无实数解 两圆相离或内含。

【要点解析】

1、圆作为一种较特殊的曲线,它的方程来源于它轨迹的定义,这种根据曲线定义确定曲线方程的方法叫做轨迹法.

2、用二元二次方程表示的曲线也叫做“二次曲线”或“圆锥曲线”.圆是其中的特例,高中教材,只讨论不含“xy”项的二次曲线.同时,在用方程表示曲线时,一定要注意其限制条件.

3、在讨论含有字母参变量的圆方程的问题时,始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件,也可以理解为“定义域优先原则”的拓展.

4、在讨论直线与圆的位置关系时,要养成作图的习惯,即在解读完题意之后,通过图形(象)语言将其中的关系再展示出来,在观察和分析时,既可用平面几何知识,又可用代数方法解析,使解决问题的思路更宽.

5、求两圆公共弦所在的直线方程的方法

求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两个圆的方程相减即可.而在求两圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想方法的灵活运用.

6、解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时,要注意分类讨论、等价转化及数形结合等数学思想和方法的熟练运用.

【典型例题

命题角度1 求圆的方程

例1. 一个圆与y轴相切,圆心在直线 上截得的弦长为解法1:∵所求圆的圆心在直线 上截得的弦长为 的距离为

∴有

故所求圆的方程为

或解法2:依题设所求圆的方程为

解方程组

可得

∵圆在直线

解得

故所求圆的方程为

点评:确定一个圆需三个独立条件,题中显然给了三个条件:(1)圆与y轴相切;(2)圆心在直线 上;(3)在直线 ,但是依题圆与y轴左边或在y轴右边,圆心在直线 上,表明圆心的横纵坐标同号。

命题角度2 与圆有关的轨迹问题

例2. 如图所示,已知P(4,0)是圆 内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。

因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动。设Q(x,y),R(

代入方程

整理得 ,即点Q的轨迹方程为例3. 已知实数x、y满足方程 的最大值和最小值;

(3)求 的最大值和最小值。

,即 与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,此时 ,即 与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时 ,即 的最大值为

(3)<0" > 表示圆上点与原点距离的平方,由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为2,

 

的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如<4" > 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如 的最值问题,可转化为两点间的距离平方的最值问题等。

命题角度4 利用圆的方程解决实际问题

例4. 有一种大型商品,A、 B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,点P所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点?

化简整理,得 为圆心、 为半径的圆上时,居民到A地或B地购货总费用相等。

(2)当P点在上述圆内时,

故此时到A地购物合算。

(3)当P点在上述圆外时,同理可知,此时到B地购物合算。

点评:在解决有关的实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.数学实际应用题,在多年来的高考中得到了重视,除了在选择题、填空题中出现外,近几年都有解答题出现,应引起重视,平时多练习,以提高解决实际问题的能力.

命题角度5 直线与圆的位置关系

例5. 已知圆解:用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求出圆心坐标,消去m就得关于圆心的坐标间的关系,就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、相切、相离,只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可;证明弦长相等时,可用几何法计算弦长。

(1)配方得: 消去m得

则圆心到直线

因为圆的半径为 ,即 时,直线与圆相交;

时,直线与圆相切;

时,直线与圆相离。

(3)对于任一条平行于l且与圆相交的直线 的距离 ,弦长 且r和d均为常量。

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。

点评:判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解,也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断.

求圆的弦长有多种方法:一是直接求出直线与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为y后所得方程两根为 ;三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.

命题角度6 直线与圆相交问题

例6. 已知圆设P、Q两点的坐标分别为 ,则由 ,可得 ,再利用一元二次方程根与系数的关系求解。

的实数解,即 的两个根 ②

∵P、Q在直线 上,

将③④代入①,解得 成立,∴解法2:已知圆 ,过点C作 的垂线为由∵OP⊥OQ,在Rt△POQ中,斜边PQ上的中线

,有

代入圆的方程有

故可得∴由 ,得 ,解得

为所求。

点评:此题解法一中将 转化为 为直径两端点的圆过某定点 ,均有例7. 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆解析:已知圆 ,如图所示。

可设光线l所在直线方程为

解得

∴光线l所在直线的方程为

例8. 试求与圆 相切于点Q(3, )的圆的方程。

相切于点Q(3, ),则CQ垂直于直线

即有

圆C的半径

由于圆C与已知圆

对该式讨论:

①当 时,可得

∴圆的方程为

以上两方程为所求圆的方程。

【模拟试题

1、过圆 外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点为A、B,则△ABP的外接圆方程为( )

A.

D. 相切,则实数k的取值范围是( )

A. B.

C. 与y轴交于A、B两点,圆心为P,若∠APB=90°,则C的值为( )

A. 8 B. 3 C. D. -3

4、若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆 D. 的切线方程中有一个是( )

A. C. D.

6、过点(1, 与圆 P为△ABC的内切圆上的动点,则点P到顶点A,B,C的距离平方和的最大值与最小值分别为_________,___________。

9、曲线C:

(1)求证:对 ,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设l与圆C交于A、B两点,若 ,求l的倾斜角;

(3)求弦AB中点M的轨迹方程;

(4)若定点P(1,1)分弦AB为 ,求此时直线l的方程。

【试题答案】

1、D 2、C 3、D 4、A 5、C

6、

10、

11、(1)k = 1时,方程为x = 1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线。

k≠1时,方程为 为半径的圆。

(2) (3)





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