>>>cet4>>>新概念英语>>>高考资源网>>>英语语法大全>>>学习方法网

学习方法网】 → 数学学习方法圆的方程;空间两点的距离公式

圆的方程;空间两点的距离公式

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-2 18:43:05
本新闻网址:

一. 本周教学内容:圆的方程,空间两点的距离公式

教学目的:

1. 理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径;能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题;探索并掌握圆的一般方程,会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。

2. 能够根据给定直线、圆的方程,会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系;能够根据给定的圆的方程,判断圆与圆的位置关系。

3. 掌握空间直角坐标系的有关概念,会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何题的有关坐标;掌握空间两点的距离公式,会应用距离公式解决有关问题。

二. 重点、难点

重点:

1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程;圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长,理解关于二元二次方程表示圆的条件。

2. 直线和圆的位置关系的判断和应用;两圆位置关系的判断。

3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标;空间两点距离公式。

难点:

1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。

2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系;通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。

3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标;空间距离公式的推导。

知识分析:

(一)圆的标准方程

1. 圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心,定长叫做圆的半径。

2. 圆的标准方程:已知圆心为(a,b),半径为r,则圆的方程为

若点M(x1,y1)在圆内,则点到圆心的距离小于圆的半径,即

(二)圆的一般方程

任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:

)为圆心,以 时,方程①只有实数解 );

时,方程①表示一个圆,方程①叫做圆的一般方程。

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:

(1)<0" > 和<1" > 的系数相同,且不等于0;

(2)没有xy这样的二次项。

以上两点是二元二次方程

(2)过圆

(3)过圆

3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题

(1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。

(2)求切线方程。若已知切点M(x0,y0),则切线方程为

若已知切线上一点N(x0,y0),则可设切线方程为

(四)圆与圆的位置关系

1. 圆与圆的位置关系问题

判定两圆的位置关系的方法有二:第一种是代数法,研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数;第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组,其解法一般较繁琐,故使用较少,通常使用第二种方法,具体如下:

的位置关系,其中

时,两圆外离;

时,两圆外切;

时,两圆相交;

时,两圆内含

注意:两圆的位置关系可表示在一条数轴上,如图所示:

两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样,一般要转化为距离间题来解决。另外,我们在解决有关圆的问题时,应特别注意,圆的平面几何性质的应用。

2. 两圆相交问题

(1)过两已知圆

,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在),当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线;当两圆相离时,此直线为与两圆连心线垂直的直线。

(2)过直线与圆交点的圆系方程

设直线 相交,则方程l与圆C的两个交点的圆系方程。

(五)空间直角坐标系

1. 空间直角坐标系

为了确定空间点的位置,我们在空间中取一点O作原点,过O点作三条两两垂直的数轴,通常用x、y、z表示.轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合。这时,我们在空间建立了一个直角坐标系O-xyz。在这个过程中,三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。

2. 点P的坐标

过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为P,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标,点P的z坐标吗?

3. 坐标平面

每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。

4. 特殊点的坐标形式

xOy平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集,其中x、y为任意实数;

xOz平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集,其中x、z为任意实数;

yOz平面是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集,其中y、z为任意实数;

x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集,其中x为任意实数;

y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集,其中y为任意实数;

z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集,其中z为任意实数。

5. 卦限

三个坐标平面把空间分为八部分,每一部分称为一个卦限。

在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限;在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ,第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限,三个坐标分量x、y、z都为正数;在第Ⅱ卦限,x为负数,y、z均为正数。

(六)空间两点的距离公式

空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离公式是

特别的,点A(x,y,z)到原点的距离为

【典型例题】

例1. 求满足下列条件的各圆的方程:

(1)圆心在原点,半径是3;

(2)圆心在点C(3,4),半径是

(3)

因为圆与坐标轴相切,故圆心满足

又圆心在直线

解方程组 ,得:

所以圆心坐标为(4,4),或(1,-1)

于是可得半径

(5)设圆心为(a,-2a)由题意,圆与直线

解得:a=1

所以所求圆的圆心为(1,-2),半径为

故圆的方程为 ,则

解得

法二:因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为

解得

所求圆的方程为

又圆C与y轴相切得

又圆心在直线 上,

圆心C(a,b)到直线

联立①②③解方程组可得

将A(2,-2),B(5,3),C(3,-1)三点的坐标代入圆的方程

点评:一般来说,由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时,常用一般式。

例5. 已知圆

消去y,得

(1)令

,即 时,直线与圆相交

(3)令 ,即 时,即 ,即

时直线与圆相离

点评:解决直线与圆的位置关系,几何法比代数法简单。

例6. 已知直线 ,曲线 ,它们有两个公共点,求b的取值范围。

解析:法一,曲线C中,l和C有两个公共点,等价于方程组 有两组不同解,又等价于 ,有两组不同解,消去x得l有两个公共点,等价方程有两个不等非负实数解

于是

解得 表示单位圆位于x轴及其上方的半圆,如图所示。当l与C有两交点,此时b=1,记为 与半圆相切时,切线记为 ;当 之间时,

解析:法一

解方程组

得交点坐标分别为(0,2)(-4,0)

设所求圆心坐标为(a,-a)

解得

法二:同法一,得两已知圆的交点的坐标为(0,2),(-4,0)

设所求的圆的方程为

解得

法三,设所求圆的方程为

因为这个圆的圆心在直线

所以

圆的方程为1、点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )

A. y轴上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限内

2、点M(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是( )

A. (-2,3,-1) B. (-2,-3,-1)

C. (2,-3,-1) D. (-2,3,1)

3、设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则|AB|等于( )

A. 10 B. D. 38

4、设有圆M: ,点P(2,1),那么( )

A. 点P在直线l上,但在圆M上

C. 点P在直线l上,也不在圆M上

5、设M是圆 上的点,则M到直线 的最小距离是( )

A. 9 B. 8 C. 5 D. 2

6、方程A.

C.

7、过点P(3,0)能有多少条直线与圆A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条

8、直线 被圆A. B. 2 C. D.

9、直线 所截得线段的中点坐标是( )

A. D. 10、若圆 关于直线 对称,那么直线 的方程是( )

A. B.

C. D.

11、与两坐标轴都相切,且过点(2,1)的圆的方程是____________________

12、过点(0,0),(1,0),(0,2)的圆的方程是__________________________

13、若实数x ,y满足 ,则 ,则 的最大值为__________________

15、一圆过点P(-4,3),圆心在直线 相切,且和直线 ,求该圆的方程。

【试题答案】

1~10:C A A A D D A C A D

11、 13、 14、

依题意,得:

解得:

所以所求圆的方程为

16、设此圆的方程为

解得:

所以所求圆的方程是

17、设⊙P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|,由题设知⊙P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,知⊙P截x轴所得的弦长为 r,故2|b|= r,得:r2=2b2

又⊙P被y轴解得的弦长为2,由勾股定理得:r2=a2+1,得:2b2-a2=1。

又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 ,即有

解得: ,于是r2=2b2=2





------文章版权归原作者所有, 未经允许请勿转载, 如有任何问题请联系我们。
上一篇:导数的综合应用、极限、复数
下一篇:平面解析几何部分:圆的方程
最新发布资料:












网站名称:学习方法 学习方法网