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导数的综合应用、极限、复数

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-8-1 18:43:05
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一. 教学内容:

导数的综合应用、极限、复数

二. 教学重难点:

1. 理解可能函数的单调性与其导数关系,会求函数的极值,最值

2. 掌握数列,函数极限的运算法则,会求数列函数极限,了解连续的意义

3. 了解复数的有关概念,能进行加、减、乘、除运算

【典型例题

[例1] 已知a为实数 上都递增,求 的取值范围。

解: ,即

时,

时,

时,

由①②知: 上是减函数,求 的取值范围。

解:

,函数 为何值时, 的取值范围。

解析:(1)对函数 ,得

从而 ,其中 变化时, 的变化如下表:

x

0

0

极大值

极小值

时, 上为减函数,在 时, 时, 时, 时, 上为单调函数的充要条件是 ,解得

综上, 上为单调函数的充分必要条件为 ,即 的取值范围是 ,若 存在单调递减区间,求<0" style=’’ > 的范围。

解:

<3" style=’width:89.25pt; >

,即<5" style=’ > 有解即可

(*)

不可能小于0

又∵ ,即函数定义域为

,解得

x

(0,10)

10

(10,30)

0

① 当 取得最大值为 时,在 取得最大值

解:∵

为方程

[例7] 是否存在常数 对一切正整数 成立?证明你的结论。

解:分别将

下面用数学归纳法证明

(1)当 时,成立

(2)假设 时,

由(1)(2)知等式对一切 成立

[例8] m取何实数时,复数 为实数

【模拟试题】

一. 选择题

1. 已知 上是单调增函数,则 的最大值是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知曲线 过点 ,则这一曲线在该点的切线方程是( )

A. D.

3. 已知 上有最大值6,那么此函数在 ,其中 时, ,则

C. 极大值为5,无极小值

D. 极小值为 ,无极大值

6. 函数 的极值点是( )

A. B. D. ;③ ;④ 时极限值为1的是( )

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④

8. C. D.

(1)若 的取值范围。

(2)是否存在实数 ,使 上单调递减?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由。

(3)证明 的上方。

2. 已知 的单调区间。

3. 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元,已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本 ,因为 ,故

显然 ,其判别式 时恒有 为增函数

5. C

解析:令

而当 时, 时, ,得

时, 不是极值点,同理 也不是 ,④的极限为1,所以选D

8. B

解析:∵ 上恒成立,即 恒成立

∴ 只需 时,

(2)由 上恒成立

上为减函数 ∴ ,使 上单调递减

(3)证明∵

上方

2. 解析:(1)当 ,所以当 内为减函数,在 内为增函数

(2)当

解得

由所以 内为增函数,在(3)当 ,解得 ,解得 ,所以当 时, 内为增函数,在

,得 时, ,所以 时,

因此,要使利润最大,该厂应生产这种产品60件,最大利润为9500元





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