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数列的应用问题、数列的极限和数学归纳法

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-7-31 18:43:05
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一. 教学内容:

数列的应用问题、数列的极限和数学归纳法

二. 教学要求:

1. 了解数列的一般应用问题,理解“复制”的概念及相关的应用问题,能建立较典型问题的数学模型。

2. 了解数列极限的概念,掌握极限的四则运算法则,会求某些数列的极限。

3. 理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

三. 知识串讲

1. 零存整取和按揭贷款问题(见例题选讲)

2. 数列极限的概念

3. 常用的极限

4. 数列极限的运算法则:

5. 无穷递缩等比数列的各项和

{an}为等比数列,|q|<1则称{an}为无穷递缩等比数列。

6. 求数列极限的常用方法

①求分子、分母都含有关于n的代数式或指数式的数列的极限,可将分子分母同除以分母的最高次幂(即无穷小量分出法),再求极限。

②利用有理化因子变形;

③求和式极限时,一般先求和,再求极限;

⑤求含有参数的式子的极限时,注意对参数的值进行分类讨论,分别确定极限是否存在,若存在求出值。

7. 数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的证明方法。

(1)数学归纳法的步骤:(分三步)

①验证n取第一个值n0时命题f(n0)正确。(是递推基础);

②假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题f(k)正确,证明n=k+1时命题f(k+1)也正确。(是递推的依据);

③由①、②可知对任意n≥n0命题f(n)都正确。(结论)。

(2)用数学归纳法证明命题f(n)时,难点在第二步。即假设n=k,f(k)成立,推出n=k+1时f(k+1)也成立,在推导中必须用到“归纳假设”,而此步骤证明的是“结构相同”。

如:用数学归纳法证明

∴等式成立。

则n=k+1时

(与k时的结构相同)

∴当n=k+1时,等式也成立。

解:由递推公式算出前几项

再用数学归纳法证明:…

【典型例题】

例1. 零存整取和按揭贷款问题

(1)利息计算:

①单利:每期都按初始本金计算利息,当期利息不计入下期本金。

例如:某人存入银行1万元现金,年利率5%,三年后一次性取出,本利和为多少?

结论:按单利计算,每期的本利和组成等差数列,按复利计算,每期的本利和组成等比数列。

(2)零存整取储蓄(单利)本利和计算模型,若每期存入本金P元,每期利率为r,当n期后,本利和为Sn。

P?D贷款 r?D利率 n?D还款期数

例如:某企业为筹划资金A元,以年利率r每年按复利计算利息。在当年年初借入,前m年这段时间内不还款,从第m+1年开始每年末按一定的金额a元偿还,并在后继的n年中还清借款的本利和,试求a的表达式。

解:从借入之日到偿还付清须(m+n)个年份,故A元的本利和是:

A(1+r)m n元 ①

而偿还金额的本利和是:

例2. 可化成递推关系的问题。

(1)等差型递推关系式:

(2)等比型递推关系式:

∴该职工第十二个月底有余款700元。

例3. 甲、乙两企业,2000年的销售量均为P(设2000年为第一年),根据市场分析和

①求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式;

②根据甲、乙两企业所在地的市场规律,如果某企业的年销售量不足另一企业年销售量的20%,则该企业将被另一企业收购。试判断,哪一个企业将被收购?这种情形将在哪一年出现?

解:设甲企业前n年的总销量为Sn,第n年的销量为an,乙企业第n年的销量为bn,则依题意可得:

解:

解:

解:

例5. 在一系列球中,第一个球的半径为1,第2个球的直径等于第一个球的半径,第3个球的直径等于第二个球的半径,依次类推,求所有这些球的表面积之和与体积之和。

解:设由球的半径组成的数列为{rn}

因此由这些球的表面积、体积都组成等比数列,

例6. 已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈N)。

①求数列{bn}的前n项和Sn;

解:<0" style=’width:225.75pt; >

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<7" style=’ >

<8" >

例7. 用数学归纳法证明不等式

显然,左端>右端;所以n=1时,原不等式成立。

②假设当n=k(k∈N)时不等式正确,即:

证明:

由①、②可知,对一切n∈N*,不等式均成立。

考虑:

解:

公式仍成立

【模拟试题】

(一)选择题

1. 某种电子产品面市时单价为a元/只,由于供不应求,连续提价三次,每次提高20%,经过一段时间后,市场开始疲软,厂家又采取了降价措施,若连续降价三次,每次降低17%,最后的价格为b元/只,则( )

A.

C. 元/m2,二层的价格为 元/m2,第i层(i≥4)的价格为

B.

D.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 若数列{an}的通项公式是 ( )

A. C.

5. 数列 ,则 ( )

A. 1 B. 0 C. 2 D.

(二)填空题

6. 设等比数列 的公比为 ,且 ,则a1=_______。

7. 如图,P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2,然后依次剪去更小的半圆(其直径为前一被剪掉半圆的半径)得图形P3,P4,…,Pn,…。记纸板Pn的面积为Sn,则 ___________。

8. 用数学归纳法证明 第一步要证的不等式是_____________。

9. 在数列{an}中,已知a1=2,l1:l2: 的交点为P1(x1,y1),且对于n≥2的自然数,两点(0,b),( )的连线与直线y= x交于点

(1)求P1,P2的坐标;

(2)猜想Pn的坐标公式,并证明。

【试题答案】

1. A

解析:

∴a>b

2. B

解析:

3. B

解析:各层房的总价值为

4. C

解析:

5. A

解析:∵

7.

解析:

两边相加:

8.

10. 解:设第n年后欠款为an

则第一年后欠款为20000×1.1-4000=a1

第二年后欠款为

……

第十年后欠款为

,…,4000分别是第一年后,第二年后,…第十年后各年所还欠款到第十年后的本息,看二者能否抵销。

11. 解:(1)解方程组

过(0,b),( ,0)两点的直线方程为

(2)猜想 ,下面用数学归纳法证明:

①n=2时,结论已被证;

②假设n=k(k≥2)时,

,过(0,b),(





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