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高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-7-12 18:43:05
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定比分点

  定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
  设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
  OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
  x=(x1+λx2)/(1+λ),
  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)www.51jjcn.cn/xxff/7305.html
  我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
  三点共线定理
  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
  三角形重心判断式
  在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
  若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
  a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
  a⊥b的充要条件是 a•b=0。
  a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
  零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y),b=(x',y')。
  
1、向量的加法

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
  AB+BC=AC。
  a+b=(x+x',y+y')。
  a+0=0+a=a。
  向量加法的运算律:
  交换律:a+b=b+a;
  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
  
2、向量的减法

  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
  AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
  
4、数乘向量

  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
  当λ>0时,λa与a同方向;
  当λ<0时,λa与a反方向;
  当λ=0时,λa=0,方向任意。
  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
  当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
  数与向量的乘法满足下面的运算律
  结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
  
3、向量的的数量积

  定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
  定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b。若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣。
  向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y'。
  向量的数量积的运算律
  a•b=b•a(交换律);
  (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
  (a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
  向量的数量积的性质
  a•a=|a|的平方。
  a⊥b 〈=〉a•b=0。
  |a•b|≤|a|•|b|。
  向量的数量积与实数运算的主要不同点
  1、向量的数量积不满足结合律,即:(a•b)•c≠a•(b•c);例如:(a•b)^2≠a^2•b^2。
  2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c。
  3、|a•b|≠|a|•|b|
  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
  
4、向量的向量积

  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
  向量的向量积性质:
  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
  a×a=0。
  a‖b〈=〉a×b=0。
  向量的向量积运算律
  a×b=-b×a;
  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
  (a+b)×c=a×c+b×c.
  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
  
向量的三角形不等式

  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
  ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
  ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
  ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
  ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。 





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