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不等式的基本性质知识点

    分类:数学学习方法    |    发布日期:2012-6-27 18:43:05
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不等式的基本性质知识点

  1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 

  ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 

  ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 

  作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 

  如证明y=x3为单增函数, 
  设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2,f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+)2
+x22] 
  再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 

  2.不等式的性质: 

  ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有: 

  (1) a>bb<a (对称性) 

  (2) a>b, b>ca>c (传递性) 

  (3) a>ba+c>b+c (c∈R) 

  (4) c>0时,a>bac>bc 
    c<0时,a>bac<bc。 

  运算性质有: 

  (1) a>b, c>da+c>b+d。 

  (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 

  (3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。 

  (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 

  应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 

  ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: 

  (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 

  (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 

  (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。  





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